松坂和夫 数学入門シリーズ 4

解析入門 (上)

微積分の入門から始めて,線形代数,フーリエ級数,複素関数論,微分形式やルベーグ積分などの現代的なテーマまで.

解析入門 (上)
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著者 松坂 和夫
ジャンル 書籍 > 自然科学書
書籍 > シリーズ・講座・全集 > 松坂和夫 数学入門シリーズ
シリーズ 松坂和夫 数学入門シリーズ
刊行日 2018/11/06
ISBN 9784000298742
Cコード 3341
体裁 菊判 ・ 並製 ・ 424頁
定価 本体3,400円+税
在庫 在庫あり
微積分の入門から始めて,線形代数,フーリエ級数,複素関数論,微分形式やルベーグ積分などの現代的なテーマまで,一貫した構想の下に説き進む.旧版全6巻を2巻ずつ合本にした新装版.
(上巻)数/数列と級数/関数の極限と連続性/微分法/各種の初等関数/関数の近似,テイラーの定理/積分法/積分の計算/関数列と関数級数/n次元空間

●推薦のことば

ここには,優れた数学書に必要なすべてが揃っている.
数学書の最も大切なことは,その本を誰がどのような状況で読んでも,ノートを脇に置いて,落ち着いて一行一行しっかり読めば,必ずわかる時がやってくるように書かれていることだ.あなたがどんなに孤独で,どんなに辺境の地にいたとしても.
それはつまり,これさえ読みこなせれば,数学者になるスタートラインに立てる,ということだ.少なくとも私はそうして数学者になった.
新井紀子(数学者)
まえがき


第1章 数

1. 1 実 数
 A)実数の分類  B)数直線  C)数の演算  D)数の大小と不等式  E)集合とその記法  F)アルキメデスの性質,有理数の稠密性  G) 2 が無理数であること
 問題1. 1

1. 2 自然数,整数
 A)素数・合成数  B)一意的素因数分解  C)整列性と数学的帰納法  D)例  E)除法の定理  F)最大公約数とイデアル  G)素数の性質  H)基本定理の証明  I)二三の補遺

1. 3 順序体
 A)体  B)順序集合  C)順序体  D)上界・下界,上限・下限  E)上限性質,下限性質  F)実数の連続性
 問題1. 3

1. 4 実数体の構成
 A)有理数の切断  B)集合Rの定義  C)順序の定義  D)上限性質の証明  E)補題  F)加法の定義と加法公理(A)の証明  G)乗法の定義と乗法公理(M)の証明一前半  H)乗法の定義と乗法公理(M)の証明一後半  I)分配法則(D)の証明  J)結語
 問題1. 4

1. 5 複素数
 A)複素数体の構成  B)CとRの関係  C)実部・虚部・共役  D)複素数の絶対値  E)1つの注意
 問題1. 5


第2章 数列と級数

2. 1 数 列
 A)写像  B)数列  C)数列の極限  D)拡大実数系  E)四則と極限  F)例 問題2. 1

2. 2 数列の収束条件
 A)上限,下限  B)単調有界数列の収束定理  C)簡単な例  D)部分列極限  E)上極限,下極限  F)数列の収束に関するコーシーの条件
 問題2. 2

2. 3 級 数
 A)級数とその和  B)等比級数の和  C)級数の収束に関するコーシーの条件  D)正項級数の収束・発散  E)幾つかの例  F)級数Σ(1/nª)  G)絶対収束と条件収束  H)交代級数  I)配列がえ級数  J)実数の十進法による無限小数表現
 問題2. 3


第3章 関数の極限と連続性
 3. 1 関数の極限
 A)関数についての二三の基本的用語  B)区間  C)関数のグラフ  D)単調関数,有界関数  E)関数の極限  F)片側からの極限  G)x →+∞,x →-∞のときの極限  H)数列の極限との関係
 問題3. 1

3. 2 連続関数の性質
 A)連続と不連続  B)片側からの連続  C)区間における連続  D)中間値の定理  E)単調な連続関数の逆関数  F)最大最小値の定理  G)一様連続性  H)合成関数の連続性
 問題3. 2


第4章 微分法
4. 1 微分法の諸公式
 A)微分可能性と連続性  B)接戦  C)導関数  D)定数倍・和・積・商の微分  E)合成関数の微分法  F)逆関数の微分法  G)有理数を指数とする累乗の微分
 問題4. 1

4. 2 平均値の定理
 A)極大点・極小点  B)ロルの定理  C)平均値の定理  D)導関数の符号と関数の増減  E)例  F)正数の相加平均と相乗平均
 問題4. 2

4. 3 関数の凹凸
 A)凸関数  B)導関数の増減と凹凸  C)第2次導関数の符号と凹凸  D)第2次導関数と極値  E)凸関数の定義と別形式
 問題4. 3

4. 4 高次導関数
 A)高次導関数とその記号  B)多項式に関するテイラーの定理  C)多項式の零点
 問題4. 4


第5章 各種の初等関数
5. 1 対数関数・指数関数
 A)対数関数の定義  B)対数関数の性質  C)指数関数とその性質  D)一般の指数関数  E)一般の対数関数  F)二三の極限  G)eが無理数であることの証明
 問題5. 1

5. 2 累乗関数,大きさの比較
 A)一般の累乗関数  B)大きさの程度  C)1 つの応用  D)ある不等式の証明
 問題5. 2

5. 3 三角関数
 A)一般の累乗関数  B)正弦・余弦  C)正接  D)三角関数のグラフ  E)加法定理
 問題5. 3

5. 4 三角関数(続き),逆三角関数
 A)1 つの基本的な極限  B)正弦・余弦・正接の微分  C)逆正弦関数  D)逆正接関数
 問題5. 4

5. 5 複素数の幾何学的表現
 A)複素平面  B)複素数の極形式  C)二項方程式  D)平面幾何学への応用
 問題5. 5


第6章 関数の近似,テイラーの定理

6. 1 テイラーの定理
 A)近似多項式  B)テイラーの定理  C)例  D)剰余項の評価  E)関数のテイラー展開  F)指数関数・三角関数のテイラー展開

6. 2 極限の計算
 A)不定形の極限  B)平均値の定理の一般化  C)ロピタルの定理  D)極限の計算
 問題6. 2


第7章 積分法

7. 1 リーマン積分
 A)上積分・下積分  B)積分の定義  C)積分可能の条件  D)連続関数・単調関数の積分可能性  E)不連続点がある場合  F)極限としての上積分・下積分  G)リーマン和の極限としての積分  H)積分可能関数の連続関数
 問題7. 1

7. 2 積分の性質
 A)積分の線形性と加法性  B)積分と不等式  C)積分関数とその性質  D)原始関数  E)微分積分法の基本定理
 問題7. 2

7. 3 不定積分,広義積分
 A)不定積分とその基本公式  B)積分定数  C)積分の定義の拡張  D)基本的な例  E)積分の収束に関するコーシーの条件  F)比較定理  G)無限級数との比較
 問題7. 3


第8章 積分の計算

8. 1 不定積分の計算
 A)置換積分法  B)部分積分法  C)有理関数の積分(1)一部分分数分解  D)有理関数の積分(2)  E)二三の例  F)ある種の有理化の方法  G)三角関数の積分
 問題8. 1

8. 2 定積分の計算
 A)置換積分法・部分積分法  B)簡単な例  C)ウォリスの公式  D)スターリングの公式  E)幾つかの積分の計算  F)条件収束の例  G)ガンマ関数  H)ルシャンドルの球関数
 問題8. 2


第9章 関数列と関数級数

9. 1 一様収束
 A)関数列あるいは関数級数の収束  B)幾つかの例  C)一様収束  D)一様収束に関するコーシーの条件  E)一様収束と連続  F)一様収束と積分  G)一様収束と微分 H)いたるところ微分不可能な連続関数
 問題9. 1

9. 2 整級数(べき級数)
 A)根判定法・比判定法  B)整級数と収束半径  C)二三の例  D)整級数で表される関数  E)アーベルの定理  F)基本的な整級数展開(1)  G)基本的な整級数展開(2)一二項定理  H)級数のコーシー積
 問題9. 2

9. 3 複素整級数(指数関数・三角関数再論)
 A)複素数列  B)複素級数  C)複素関数の極限と微分  D)複素変数の指数関数  E)複素変数の三角関数  F)一般の複素整級数
 問題9. 3


第10章 n次元空間

10. 1 ユーグリッド空間
 A)空間Rn  B)内積  C)ノルム  D)ベクトルの直交,ベクトルのなす角  E)直線と線分  F)凸集合  G)超平面  H)点と超平面との距離  I)平行四辺形の面積  J)ベクトル積,平行六面体の体積
 問題10. 1

10. 2 ベクトル空間
 A)ベクトル空間の定義  B)初等的性質  C)基本的諸定義  D)基底と次元(1)  E)基底と次元(2)  F)同次元ベクトル空間の同形性
 問題10. 2


解 答
索 引
松坂和夫(まつざか かずお)
1927‒2012年.1950年東京大学理学部数学科卒業.武蔵大学助教授,津田塾大学助教授,一橋大学教授,東洋英和女学院大学教授などを務める.著書に,本シリーズ収録の『集合・位相入門』『線型代数入門』『代数系入門』『解析入門』のほか,『数学読本』『代数への出発』(以上,岩波書店),『現代数学序説―集合と代数』(ちくま学芸文庫)など.
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