松坂和夫 数学入門シリーズ 6

解析入門 (下)

複素数の関数/複素積分/複素解析の続き/重積分/重積分の変数変換/微分形式とその積分/ルベーグ積分

解析入門 (下)
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著者 松坂 和夫
ジャンル 書籍 > 自然科学書
書籍 > シリーズ・講座・全集 > 松坂和夫 数学入門シリーズ
シリーズ 松坂和夫 数学入門シリーズ
刊行日 2018/11/06
ISBN 9784000298766
Cコード 3341
体裁 菊判 ・ 並製 ・ 448頁
定価 本体3,400円+税
在庫 在庫あり
微積分の入門から始めて,線形代数,フーリエ級数,複素関数論,微分形式やルベーグ積分などの現代的なテーマまで,一貫した構想の下に説き進む.旧版全6巻を2巻ずつ合本にした新装版.
(下巻)複素数の関数/複素積分/複素解析の続き/重積分/重積分の変数変換/微分形式とその積分/ルベーグ積分

●推薦のことば

ここには,優れた数学書に必要なすべてが揃っている.
数学書の最も大切なことは,その本を誰がどのような状況で読んでも,ノートを脇に置いて,落ち着いて一行一行しっかり読めば,必ずわかる時がやってくるように書かれていることだ.あなたがどんなに孤独で,どんなに辺境の地にいたとしても.
それはつまり,これさえ読みこなせれば,数学者になるスタートラインに立てる,ということだ.少なくとも私はそうして数学者になった.
新井紀子(数学者)
まえがき


第20章 複素数の関数

20. 1 複素解析関数;多項式,有理関数
 A)複素数とその幾何学的表示  B)直線,半平面,円  C)リーマン球面  D)解析関数  E)多項式  F)有理関数(1)―零点と極  G)有理関数(2)―部分分数分解
 問題20. 1

20. 2 初等超越関数,コーシー・リーマンの微分方程式
 A)整級数で表される関数;とくに指数関数,三角関数  B)対数関数  C)逆三角関数  D)コーシー・リーマンの微分方程式  E)定理1 の逆  F)簡単な一命題  G)等角性
 問題20. 2

20. 3 1次変換
 A)1 次変換とその群  B)1 次変換の分解,円円対応  C)非調和比  D)円に関する鏡映(1)  E)円に関する鏡映(2)  F)向きづけられた円
 問題20. 3


第21章 複素積分

21. 1 線積分とコーシーの定理
 A)曲線  B)線積分  C)微分形式,完全微分  D)コーシーの定理(1)―長方形の場合  E)コーシーの定理(2)―開円板の場合
 問題21. 1

21. 2 解析関数の性質
 A)点の指数,曲線の回転数  B)コーシーの積分公式  C)高次導関数  D)いくつかの結果  E)テイラーの定理  F)テイラーの展開  G)解析関数の零点  H)解析関数の孤立特異点  I)孤立特異点としての無限遠点  J)局所写像の性質
 問題21. 2

21. 3 コーシーの定理の一般形
 A)鎖とサイクル  B)コーシーの定理の一般形  C)局所完全な微分形式の積分  D)定理2 の証明―多角形サイクルの場合  E)定理2 の証明―一般の場合  F)短連結領域  G)短連結領域の別定義  H)多重連結領域
 問題21. 3

21. 4 留数定理と実定積分の計算
 A)留数  B)留数定理  C)留数の求め方  D)定積分の計算
 問題21. 4


第22章 複素解析の続き

22. 1 無限級数と無限積
 A)一様収束関数列とワイエルシュトラスの定理  B)解析関数のテイラー展開  C)関数log z,関数zª  D)log(1+z)の展開  E)その他テイラー展開  F)ローラン級数とローラン展開  G)無限積  H)級数論の追加―絶対収束(絶対総和可能)級数
 問題22. 1

22. 2 具体例の追補
 A)z/(ez-1)の展開  B)z cot z の展開  C)π cot πz の部分分数分解  D)前項の部分分数分解の別証明  E)級数Σ∞1/n2k  F)sin πz の無限積展開  G)ガンマ関数の続き(1)― 定義の拡張  H)ガンマ関数の続き(2)―ワイエルシュトラスの公式
 問題22. 2


第23章 重積分

23. 1 区間上の積分,面積・体積
 A)区間上の積分  B)連続関数の積分可能性  C)極限としての積分  D)基本的諸命題  E)平面図形の外面積・内面積  F)外面積・内面積(続き)  G)面積確定の条件  H)面積に関する一般的命題  I)面積の不変性  J)体積・測度  K)縦線図形の面積
 問題23. 1

23. 2 一般の集合の上の積分
 A)一般の集合の上の積分(2 次元)  B)積分可能であるための1 条件  C)基本的諸命題  D)反復積分(累次積分)  E)一般化  F)実際上よく用いられる形  G)幾つかの例
 問題23. 2


第24章 重積分の変数変換

24. 1 アフィン変換と測度
 A)超曲面と零集合  B)線形変換と測度(1)―区間の場合  C)線形変換と測度(2)―一般の可測集合の場合  D)線形変換の分解  E)行列式と測度  F)部分空間における効果  G)アフィン部分空間,アフィン変換
 問題24. 1

24. 2 変数変換定理
 A)1 つの補題  B)C1 写像と接アフィン写像  C)可測集合のC1写像による像  D)積分区域の一般分割とリーマン和  E)変数変換定理の証明  F)平面の極座標  G)空間の円柱座標・極座標
 問題24. 2

24. 3 広義の積分
 A)広義積分の定義  B)広義積分の計算(1)  C)広義積分の計算(2)  D)絶対収束しない積分の例
 問題24. 3


第25章 微分形式とその積分

25. 1 微分形式
 A)k-曲面  B)微分形式とその積分  C)例  D)微分形式の簡約  E)標準形の一意性  F)微分形式の積  G)微分形式の微分  H)変数変換と微分形式の引きもどし  I)引きもどしの合成  J)微分形式の引きもどしと積分
 問題25. 1

25. 2 ストークスの定理
 A)有向アフィン単体  B)前項の記法の正当性  C)アフィン鎖  D)境界  E)一般のk-単体,k-鎖  F)ある種の補足と例  G)ストークスの定理  H)完全微分形式,閉微分形式  I)完全でない閉微分形式の例  J)命題3 つの逆が成り立つ場合
 問題25. 2

25. 3 R2,R3 への応用(ベクトル解析)
 A)グリーンの定理  B)曲面積  C)基本的な例  D)円環面とその曲面積  E)円環体  F)ベクトル解析の記法  G)ベクトル場の積分  H)ストークスの定理と発散定理
 問題25. 3


第26章 ルベーグ積分

26. 1 測 度
 A)集合の環(有限加法族),σ 環(σ 加法族)  B)加法的集合関数とσ 加法的集合関数  C)区間および区間塊の測度  D)正則な加法的関数と外測度  E)有限μ 可測集合とμ 可測集合  F)σ 環(μ)  G)ボレル集合,Gδ 集合,Fσ 集合,零集合  H)可測集合の他の特徴づけ  I)ジョルダン可測集合とルベーグ可測集合  J)非可算零集合の例―カントル集合  K)ルベーグ可測でない集合の例
 問題26. 1

26. 2 積 分
 A)測度空間  B)可測関数  C)単関数  D)非負可測単関数の積分  E)一般の可測関数の積分  F)積分のσ 加法性  G)絶対値の関数の積分  H)ルベーグ収束定理  I)ルベーグの項別積分定理  J)ルベーグの収束定理(2)  K)リーマン積分との比較
 問題26. 2


解 答
索 引
松坂和夫(まつざか かずお)
1927‒2012年.1950年東京大学理学部数学科卒業.武蔵大学助教授,津田塾大学助教授,一橋大学教授,東洋英和女学院大学教授などを務める.著書に,本シリーズ収録の『集合・位相入門』『線型代数入門』『代数系入門』『解析入門』のほか,『数学読本』『代数への出発』(以上,岩波書店),『現代数学序説―集合と代数』(ちくま学芸文庫)など.
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