証明のマジック

『数学魔術師ベンジャミンの教室　レベル1・レベル2』

（アーサー・ベンジャミン著／熊谷　玲美訳）

　「証明」と聞いて真っ先に思い浮かぶのは何でしょうか．私の場合，中学生のときに教わった三角形の合同の証明が思い浮かびます．２つの三角形で，３辺がそれぞれ等しいから合同，あるいは２辺とその２辺に挟まれた角がそれぞれ等しいから合同，あるいは１辺と２つの角がそれぞれ等しいから合同，という問題をいくつもいくつも解いた記憶がよみがえります．
　このような証明問題は，探すべきポイントがはっきりしていて，証明の作法を学ぶにはよいのかもしれませんが，証明のありがたみがそれほど強く感じられるわけではありません．
　『数学魔術師ベンジャミンの教室』は中学から高校くらいまでに教わる数学を，ダジャレやや多めの楽しい語り口で紹介してくれる本です．その１冊目（レベル１）の第６章が「証明のマジック」で，最初に「不可能の証明」が取り上げられています．こんな問題です．

８×８のチェス盤の右下と左上の隅を除く62個のマス目全部をおおうように，１×２の長方形ブロック31個をすき間なく並べることはできるか？

　これは，できそうで，できません．答えは「不可能」なのですが，それを証明しなくては完全な答えになりません．この証明を思いつくと，きっと満ち足りた気分になると思うので，ここには書きませんが，ヒントはチェス盤の色に着目することです（チェス盤は黒と白の市松模様になっています）．
　著者こう言います．

世間ではよく，「ないものは証明できない」という言い方をする．これは，「紫色の牛がいないことは証明できない．なぜなら，いつかそういう牛が現れるかもしれないから」ということだろう．ところが数学では「ない」ことを証明できる．

　中学校で出会う最初の証明問題が，上のような「不可能の証明」だったら，証明って凄い，数学っておもしろいと，もっと早くに気づいたかもしれません．